让孩子放心地啃老的目标
2016年04月04日 数学 就业 社会 新民晚报 行 添加评论4月2日的《新民晚报》“夜光杯”版面有一篇有意思的文章，讨论父母供孩子大学毕业后海外留学的支出是否必要。作者的想法大致是：本科毕业月薪5000，海归后月薪还是5000。那么干脆不要送孩子出国了，把这出国留学的100万花费剩下来给孩子发工资，让孩子堂堂正正啃老。
100万可供孩子啃老几年呢？如果不考虑利息，假设每月发给孩子5000元“工资”（啃老费），当然是200个月，也就是16.7年。那么考虑本金的利息呢？作者在文中给出的估计过于粗糙了，我们来试试严谨些的数学计算吧。
记家庭最初的留学预备金，也就是准备给不留学的孩子发工资的钱为$P$，单位为万元，这就是最初的本金；在这篇文章中$P=100$。每个月有一笔工资支出记为$A$，单位也是万元；在文中$A=0.5$。年化利率是$i$，文中$i=0.03$。月利率$j$和年利率$i$的理论关系是：
在钱全部付完的那个第$n$个月的月末，本金的终值和每月流出的终值是一样的。所以：
\begin{equation} P(1+j)^n=A+A(1+j)+A(1+j)^2+\cdots+A(1+j)^{n-1}=A\frac{(1+j)^n-1}{j} \end{equation}
算完后发现，在经济金融领域上面这个公式还是有名字的，叫“等额分付现值公式”。
把有实际意义的年化利率$i$和年份$N=n/12$代入：
\begin{equation} P=A\frac{(1+i)^N-1}{\left( (1+i)^{\frac{1}{12}}-1\right )(1+i)^N} \end{equation}
按照文中假设，$P=100$，$A=0.5$，$i=0.03$，可以求得$N=22.9964$，也就是可以支付23年。
$N$由一个对数函数决定，如果对数的真数小于零，我们也就没法求解了。这也是最理想的情况：每个月的利息大于要发的工资，此时出不敷入，达到了诺贝尔奖金的境界。不仅孩子每个月有工资拿，父母百年之后还可以把本金原原本本留给孩子。临界公式是：
\begin{equation} (1+i)^\frac{1}{12}-1=\frac{A}{P} \end{equation}
把临界情况画出来看一下：
各位父母，你们希望给子女发多少月工资呢？来看看自己需要准备多少储备金，投资收益达到多少吧！这是让孩子成为“二代”的努力目标哦。
从上面这幅图里，其实也可以看出复利的力量。
我们再看看不同的年化利率下，父母的储备金可以支撑多少年吧。这次大方点，给孩子每月发一万。
月入一万已经是当前上海人均收入的两倍了。不考虑货币贬值物价飙升等因素，父母有四百万积蓄，保证稳定的3%的年利率，你的孩子就可以理论上终身不愁了。所以，房价的确太高了不是么？
