Mathematica里最基本的那点知识：什么是表达式

咦，又是一个初学者的Mathematica教程，好无聊好无聊。但是我遗憾地发现好多教程都不提这些最最最基础的概念，原因有三：

1. 读者不喜欢看： 基本概念都很抽象，用起来也不酷炫
2. 读者不想看： 基本概念比较枯燥，而且初学并不常用
3. 读者不想学： 基本概念理解起来看似简单，但是用法却千变万化，不利于读者十五分钟速成

不管怎么说，就是基本概念看着不酷、用得不多、用法复杂，所以最好不讲或者一句带过。而这个系列就要去翻翻这些最无聊的基本概念。那第一个Mathematica的知识点无疑是表达式。那什么是表达式呢？

Mathematica的文档里说得很好，Mathematica中所有的事物都是表达式。（其实并不是，比如注释不是表达式，为什么下面会解释）

Everything Is an Expression

好了，到此结束。你知道了所有关于表达式的内容，就是Mathematica中你看到的所有内容都是表达式。你懂了吗？就这句话，我反正不懂。如果你也不懂，那么就看下面的内容：

Mathematica中的表达式都可以表达为形如f[x,y,...]的形式，f是头，可以用Head查看；[]是一个语法结构表示里面的那个Sequence是f的参数，x,y,...就是一个参数的序列，Mathematica叫Sequence。这个定义的后果是所有的事物都有头，下面是几个例子：

	In[1]:= Head[Sin[x]]	(* 注释：好理解 *)

	Out[1]= Sin

	In[2]:= Head[x]		(* 注释：默认的变量是Symbol [见注一] *)

	Out[2]= Symbol

	In[3]:= Head[1]		(* 注释：这个也还行 *)

	Out[3]= Integer

	(* 注释：Head的头是Symbol *)
	In[4]:= Head[Head]	

	Out[4]= Symbol

	(* 注释：Symbol的头和其他函数一样也是Symbol *)
	In[5]:= Head[Symbol]		

	Out[5]= Symbol

	(* 注释：Head[1]的头还是Symbol *)
	In[6]:= Head[Head[1]]		

	Out[6]= Symbol

	(* 注释：x+y的头是啥呢？这个为啥后面说 *)
	In[7]:= Head[x + y]		

	Out[7]= Plus

	(* 注释：注释的头是啥呢？不合法，所以注释没有头，也就不是表达式！ *)
	In[8]:= Head[(* 注释 *)] 

	During evaluation of In[8]:= Head::argx: Head called with 0 arguments; 1 argument is expected. >>

	Out[8]= Head[]

由最后一句可以看到注释并不是表达式，因为表达式必须有头，所以Mathematica中有事物不是表达式，不过确实绝大部分都是表达式啦。下面回到x+y的头的问题，这是因为Mathematica中表达式可以表达为多种形式，也就是同一数据结构的多种表示方法，而x+y就是表达式的中置表示法。下面是Mathematica中表达式的常见表示方法的介绍：

1. 前置表示法 f@Sequence[x, y, ...]，参数只有一个的时候可以用f@x的形式表示。例如：

   Sin[x]可也写成Sin@x；x怎么写成前置表达呢，我们知道他的头是Symbol,所以很容易得到x的前置表示为Symbol@"x"；而x+y的前置表达是Plus@Sequence[x,y]，这里有个矛盾也就是x+y的前置表达中包含了一个非前置表达Sequence[x,y]，而Sequence[x,y]的前置表达又是Sequence@Sequence[x,y]，如此可以一直下去。为了解决这个矛盾，Sequence[Sequence[x,y]]被定义为和Sequence[x,y]完全一样了。所以确实存在这么一个表达式，你无法用完全前置或者其他的方式表达出来。不过这是个特例。

2. 中置表达法 x ~f~ y，对于参数为2的函数中置表达似乎很明显，x+y就可以看做一种中置表达，它和x ~Plus~ y是一样的。

   对于参数不等于2的情况，使用就比较不直观了。吸取前面前置表达法对于多个变量的表示方法，中置表达的多变量打开方式是x ~f~ Sequence[y,...]或者其他各种分割方法。对于只有一个参数的情况，留给读者思考，如果不能解决可以在留言中提问。

   另外提一句，Infix函数可以用来返回的表达式的中置表达，比如Infix@f[x, y]会返回x ~f~ y。但是，Infix@f[x,y,z]的返回是x ~f~ y ~f~ z，这并不是正确的表达方法，如果直接输入：x ~f~ y ~f~ z运行后直接返回的不是f[x,y,z]，而是f[f[x, y], z]。准确的讲是仅对具有Flat属性的函数（见注二），这两个表达是一样的。

3. 后置表达法 Sequence[x, y, ...] // f，参数只有一个时可以用x//f的形式表示。例如：

   Sin[x]可以写成x//Sin。多个参数的表达方法也一样留作练习，参考前置表达的表达方法应该不难解决。

上面三种表达法都是标准的f[x,y,...]的补充，主要是为了方便输入和增加可读性（如果看得懂的话）设置的，为什么那么说呢？比如

Simplify[f[x]]很常用，但是多加一层中括号，不仅不方便，而且随着括号层次增多就很难读。如果变成f[x]//Simplify就好多了，读法大概就是先计算f[x]然后化简。有时候前置表达可能更加易读，比如Last[f[x]]可以写成Last@f[x]，可以大致读成最后一个元素@f[x]的计算值。中置运算符对于连接运算一类比较易读，比如Join[{1, 2}, {3, 4}]可以写成{1, 2} ~Join~ {3, 4}是不是好读很多。对于这三类表达方法，前置和后置一般用在单一参数的情况，中置一般用在两个参数的情况。其他情况，笔者建议最好使用标准的表示方法，也就所谓的StardardForm。这就引出了表达式的显示方式问题。

除了不同的表示法，表达式还有不同的显示方式，比如StardardForm, FullForm, TreeForm, TeXForm, CForm，Postfix,Infix,Prefix等等等等。有些显示方式是可以完整转换的，比如StardardForm和FullForm，有些则不能完整的转换，比如FullForm和TeXForm。这些显示方式也有比较复杂的内涵，我们下次再说吧！

注一：x的Mathematica完整写法应该是Symbol@"x"，类似地，Sin的写法是Symbol@"Sin"。

注二：Flat属性是指：

Flat is an attribute that can be assigned to a symbol f to indicate that all expressions involving nested functions f should be flattened out. This property is accounted for in pattern matching. 

也就是说f[f[x, y], z]和f[x, y, z]是一样的。