喝啤酒的问题
2016年03月05日 Mathematica 教程 行 添加评论
昨天同事在朋友圈里问了一个问题，
10块钱买啤酒，2块钱一瓶，2个空瓶或者4个瓶盖可以再换一瓶，问能买几瓶啤酒？
这个问题其实手算或者用Excel都挺容易的，不过这里用Mathematica来解决这个问题。代码很简单：
Bear[{钱_, 瓶盖_, 空瓶_, 啤酒总数_}] :=
Module[{这次买到 = Floor[钱/2] + Floor[瓶盖/4] + Floor[空瓶/2]}, {Mod[钱, 2],
Mod[瓶盖, 4] + 这次买到, Mod[空瓶, 2] + 这次买到, 啤酒总数 + 这次买到}]基本就是题目的翻版，输进去就能有答案：
In[2]:= Bear[{10, 0, 0, 0}]
Out[2]= {0, 5, 5, 5}明显不对嘛，很简单啊，你这个问题是求不动点问题啊，所以正确的答案应该是
In[3]:= FixedPoint[Bear, {10, 0, 0, 0}]
Out[3]= {0, 3, 1, 15}如果到这就结束了那该多无聊，所以我们就开始研究了。兑换过程是这样的：
In[4]:= FixedPointList[Bear, {10, 0, 0, 0}]
Out[4]= {{10, 0, 0, 0}, {0, 5, 5, 5}, {0, 4, 4, 8}, {0, 3, 3, 11}, {0,
4, 2, 12}, {0, 2, 2, 14}, {0, 3, 1, 15}, {0, 3, 1, 15}} 如果换成100个，答案是：
In[5]:= FixedPointList[Bear, {100, 0, 0, 0}]
Out[5]= {{100, 0, 0, 0}, {0, 50, 50, 50}, {0, 39, 37, 87}, {0, 30, 28,
114}, {0, 23, 21, 135}, {0, 18, 16, 150}, {0, 14, 12, 162}, {0, 11,
9, 171}, {0, 9, 7, 177}, {0, 6, 6, 182}, {0, 6, 4, 186}, {0, 5, 3,
189}, {0, 3, 3, 191}, {0, 4, 2, 192}, {0, 2, 2, 194}, {0, 3, 1,
195}, {0, 3, 1, 195}}继续扩展，啤酒个数和钱数的关系是咋样的？
假设是30块钱以内：
Plot[Last@FixedPoint[Bear, {x, 0, 0, 0}], {x, 0, 30},
PlotPoints -> 200, GridLines -> Automatic,
GridLinesStyle -> Directive[Red, Dashed], PlotTheme -> "Web"]你得到的是如下关系：
假设到10000块钱，那么将是：
其实大概你的啤酒数等于两倍的钱数，这个有解析解的啦，有兴趣去推导去，不过我不觉得能得到更多信息。
然后可以来看看你需要计算的次数，对于10块钱以内的情况是这样的：
Plot[Length@FixedPointList[Bear, {x, 0, 0, 0}] - 2, {x, 0, 10000},
PlotPoints -> 200, GridLines -> Automatic,
GridLinesStyle -> Directive[Red, Dashed], PlotTheme -> "Web"]
增长到10000块的时候，情况是这样的：
次数显然和钱数大概是一个对数关系，不信你去推解析解啊，真的是近似对数的关系。所以你弄个Excel表格，迭代100次，对于正常的钱数，基本可以保证最后的结果已经收敛。最后祝大家玩得开心啦！
BTW，文章头上的图像是这个代码生成的：
Plot[{{Last@FixedPoint[Bear, {x, 0, 0, 0}],
Length@FixedPointList[Bear, {x, 0, 0, 0}] - 1}}, {x, 0, 10},
PlotPoints -> 200, GridLines -> Automatic,
GridLinesStyle -> Directive[Red, Dashed], PlotTheme -> "Web"]
